CPS Lecture 12 FM Bandwidth Analysis

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2026/06/17 19:13:33 CST

章节目录

• 12-1 FM 带宽为什么难分析 Why FM Bandwidth Is Hard to Analyze
  • 12-1-1 累积消息信号 Accumulated Message Signal
  • 12-1-2 复包络表示 Complex Representation
• 12-2 幂级数展开与无限带宽 Power Series and Infinite Bandwidth
  • 12-2-1 Maclaurin 展开 Maclaurin Expansion
  • 12-2-2 频谱扩展 Spectrum Spreading
• 12-3 窄带 FM Narrowband FM
  • 12-3-1 NBFM 近似 NBFM Approximation
  • 12-3-2 AM 与 NBFM 对比 AM and NBFM Comparison
• 12-4 单音 FM 与 Bessel 展开 Single-Tone FM and Bessel Expansion
  • 12-4-1 单音 FM 模型 Single-Tone FM Model
  • 12-4-2 Bessel 边带 Bessel Sidebands
• 12-5 宽带 FM 与 Carson 法则 Wideband FM and Carson's Rule
  • 12-5-1 阶梯近似 Staircase Approximation
  • 12-5-2 频谱范围估计 Spectrum Range Estimate
  • 12-5-3 Carson 法则 Carson's Rule

12-1 FM 带宽为什么难分析 Why FM Bandwidth Is Hard to Analyze

12-1-1 累积消息信号 Accumulated Message Signal

FM 的瞬时角频率为

相位由瞬时角频率积分得到，所以 FM 的相位依赖消息信号的累积值。

累积消息信号 Accumulated Message Signal

累积消息信号 Accumulated Message Signal 定义为消息信号的时间积分：

用 表示时，FM 信号为

---

12-1-2 复包络表示 Complex Representation

为了分析频谱，先写出对应的复指数信号：

拆成载波项和调制项：

实信号由实部得到：

FM 的非线性来自 。这个指数项会把 的不同幂次混进频谱，因此不能像 AM 那样只看一次频移。

12-2 幂级数展开与无限带宽 Power Series and Infinite Bandwidth

12-2-1 Maclaurin 展开 Maclaurin Expansion

对调制项作 Maclaurin 展开：

代回 FM 信号并取实部，可得

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12-2-2 频谱扩展 Spectrum Spreading

若 的带宽为 ，第一项只是载波，理想带宽为 。第二项包含 ，调制到载波附近后产生宽度约为 的双边频谱。

第三项包含 。时域相乘对应频域卷积：

若 分布在 ，卷积后频率范围扩展到 。更高次 会继续扩大频谱范围。

理论带宽 Theoretical Bandwidth

理论带宽 Theoretical Bandwidth 指信号所有非零频谱分量占据的频率范围。理想 FM 因为含有无限阶边带，理论带宽为无限大。

实际系统只保留幅度显著的边带。高阶项含有 ，阶乘增长很快，所以远离载波的高阶边带通常可以忽略。

12-3 窄带 FM Narrowband FM

12-3-1 NBFM 近似 NBFM Approximation

窄带 FM Narrowband FM

窄带 FM Narrowband Frequency Modulation, NBFM 指相位偏移很小、可以忽略二阶及以上项的 FM。

在该条件下，

因此

NBFM 只保留一阶边带，因此实际带宽近似等于 AM 的带宽：

这里的 是基带消息信号的最高频率。

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12-3-2 AM 与 NBFM 对比 AM and NBFM Comparison

特征	AM	NBFM
信号形式
主要变化量	幅度	相位 / 频率
近似带宽
包络	随消息变化	理想情况下恒定
调制性质	线性	小角度近似下近似线性

NBFM 的一阶项与 AM 很像，但它乘在 上，相当于相对于载波正交的边带项。这个 关系也是 PM/FM 与 AM 频谱结构不同的来源。

12-4 单音 FM 与 Bessel 展开 Single-Tone FM and Bessel Expansion

12-4-1 单音 FM 模型 Single-Tone FM Model

令消息信号为单音正弦

则

FM 信号为

其中

调制指数 Modulation Index

调制指数 Modulation Index 是峰值频偏与单音消息频率的比值：

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12-4-2 Bessel 边带 Bessel Sidebands

利用 Fourier series 展开

其中 是第一类 阶 Bessel 函数 Bessel Function。因此单音 FM 的频率分量位于

各阶边带的幅度由 决定。

当 很小时，只有 和 显著，对应 NBFM。 增大后，更多 变得显著，信号进入 WBFM。

12-5 宽带 FM 与 Carson 法则 Wideband FM and Carson's Rule

12-5-1 阶梯近似 Staircase Approximation

宽带 FM Wideband FM

宽带 FM Wideband Frequency Modulation, WBFM 指频偏较大、不能忽略高阶边带的 FM。

对低通信号 作阶梯近似。若消息带宽为 ，每个小单元的宽度取不大于

该取法来自采样定理。每个单元内 近似为常数 ，对应一小段瞬时角频率近似恒定的正弦波：

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12-5-2 频谱范围估计 Spectrum Range Estimate

若 的峰值为 ，各小段正弦波的中心角频率范围为

每个小段的时间宽度有限，因此其频谱表现为带有 sinc 主瓣的谱。课件的 staircase 近似估计每侧主瓣扩展约为 。

总角频率范围近似为

换算成 Hz 后：

该推导给出 WBFM 带宽的松散量级估计。这里的 来自 staircase 近似中的主瓣扩展记号，不应直接和 Carson 法则中的消息单边最高频率混用。实际工程中通常使用更简洁的 Carson 法则。

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12-5-3 Carson 法则 Carson's Rule

Carson 法则 Carson's Rule

Carson 法则 Carson's Rule 用峰值频偏和消息带宽估计 FM 的实际传输带宽：

其中：

• ：FM 信号的实际占用带宽；
• ：峰值频偏；
• ：消息信号最高频率或单边带宽。

对单音消息，，所以

TIP

判断 NBFM/WBFM 时先算 。 时可用 NBFM 近似； 较大时用 Carson 法则估计实际带宽。